Pessoal, quando um cliente está em um servidor HostGator cpanel com e-mails configurados no POP.

E migra para um servidor DirectAdmin, por exemplo, os e-mails POP perdem quando for sincronizar novamente no novo servidor após migração?

Olá,

Não, o que já foi baixado para o computador do cliente (POP3) não será perdido após a troca de servidor.

Abraço, Bruno.

Como dito pelo @bdlc quando esta com a configuração em (POP3) os e-mails estão armazenados no disco do seu cliente, a partir daí tudo que estiver no servidor é pelo simples fato de ainda não ter "apagado" digamos assim...  só aconselho ter cuidado na hora de copiar "olhar" o conteúdo que está lá, pois se o cliente já tiver feito o backup de tudo e a opção de não deletar estiver ativa, já teve casos de baixar tudo novamente e ficar tudo em duplicidade.